Paradoxen

                                                                     xkdc

Oudste zoon is er en legt een voor mij nieuw woord uit: autologie. Volgt een boeiende discussie van enkele uren die ik jullie niet wil ontzeggen. Over logica. Let wel: ik ben geen logicus, verre van. Dus reacties welkom. Schiet mij maar lek.

Een heel mooi woord, autologie. Een autologie is een woord dat zichzelf beschrijft. Zoals “kort” of “Nederlands”, en zelfs “autologie”. Het tegenovergestelde is een heterologie. Een heterologie is een woord dat zichzelf niet beschrijft. Zoals “lang”of “Engels”. Maar dan komt ie: is heterologie een heterologie?
Het voor de hand liggende antwoord is nee: het woord omschrijft zichzelf en is dus een autologie. Maar als heterologie een autologie is, dan omschrijft het zichzelf dus niet en is het toch een heterologie. Maar als het zichzelf wel omschrijft, is het een autologie. Terwijl het dat dus niet is. Dat is paradoxaal. Eigenlijk is dit een woordelijke variant van, of in iedere geval vergelijkbaar met een paradox uit de logica, genaamd de Russell's paradox. Die een paradox is in de set theory.

De set theory is van Cantor, een logicus uit eind 19de, begin 20ste eeuw, die zoals opmerkelijk velen van zijn collega's logici uit die tijd, uiteindelijk gek is geworden. De set theory, heb ik menen te begrijpen, gaat uit van “sets” van dingen. Bijvoorbeeld:

– de set van even getallen: daar zitten alle even getallen in

– de set van al het eten dat ik lekker vind: daar zit al het eten in dat ik lekker vind

– de set van alle dingen die zelf een set zijn: daar zitten bovengenoemde sets dus in

Nu de vragen:

Vraag: Stel we noemen de set van alle dingen die een set zijn set C. Zit set C in zichzelf? Het antwoord is ja.

Vraag: Stel we noemen D de set van alle sets die NIET in zichzelf zitten.

– de lege set: daar zit niets in, dus die zit niet in zichzelf

– de set van alles, die zit wel in zichzelf

en D zelf, de set van alle sets die niet in zichzelf zitten, zit die in zichzelf?

Dat is de Russell's paradox.

Hoe beantwoord je die vraag? Door alle antwoorden te nemen, en aan te tonen dat ze in conflict zijn met elkaar.

1- antwoord JA: dus dat set D voldoet aan de eigenschappen van zichzelf. Dat kan niet, want hij is juist de set van alle sets die niet in zichzelf zitten.

2- antwoord NEE: Stel hij zit niet in zichzelf. Dan heeft hij de volgende eigenschap: hij is een set die niet in zichzelf zit. Maar als D dat niet is, waar zit D dan in? In set E, de set die alle sets bevat die niet in zichzelf zitten, en dat is D zelf. En dát is een contradictie: we hebben juist vastgesteld dat D geen D is. Kortom: als het noch JA noch NEE kan zijn dan is het een paradox, want een vraag gesteld waar geen antwoord op mogelijk is.

Doordat Russell met die paradox kwam moesten de logici/wiskundigen een nieuwe definitie maken van de set theory. Russel was dus geniaal als u het mij vraagt. De eerste definitie van de set theory was niet precies genoeg, niet consistent, omdat je paradoxen kunt beschrijven binnen de theorie. Toen hebben die logici de set theory opnieuw gedefinieerd met 6 basis axioma (de Zermelo-Fraenkel-axioma ook wel ZFC genoemd). Er zijn er eigenlijk 7, maar de 7de is controversieel (lang verhaal, laat maar). Een van die axioma's is bijvoorbeeld de nul hypothese: “er bestaat een set die geen elementen bevat”.

Even een zijsprong. Als we stellen dat:

sociologie eigenlijk toegepaste psychologie is

psychologie toegepaste biologie

biologie toegepaste scheikunde

scheikunde toegepaste natuurkunde

natuurkunde toegepaste wiskunde

is, en dat je de hele wiskunde kunt opbouwen vanuit de set theory, dan is de set theory eigenlijk de uitleg van ALLES, en kun je niet anders dan vaststellen dat Cantor een van de geniaalste mannen ter wereld was.

Want is biologie niet een grote conclusie van scheikunde? Al het leven hangt immers aan elkaar van chemische processen. De biologie introduceert niets nieuws, er zijn er geen axioma's. Alles hebben ze afgekeken van de scheikunde. Als je alles in termen van scheikundige processen ontleedt, kun je een heel leven voorspellen. Om te beginnen dat van een mier, of nog beter: van een amoebe, maar ook van een mens, want, zeg nou zelf, zijn we niet, scheikundig gezien, niets anders dan enorm uitgevallen protozoën? Scheikunde op haar beurt is volledig af te leiden van natuurkunde, en natuurkunde kun je in haar geheel modelleren op wiskunde. Zo zoeken ze in de natuurkunde naar een “unifying theory”. Eerst had je allerlei theorietjes over van alles en nog wat. Maar steeds meer konden ze die theorieën terugvoeren op één deelgebied: magnetisme. Eigenlijk is alles magnetisme. Behalve de zwaarte kracht (Het Higgsboson is daarin belangrijk: als ze dat hebben gevonden – bij CERN bijvoorbeeld – dan zullen ze de zwaarte kracht begrijpen). Die unifying theory zelf is in wiskundige taal beschreven. Dus: waar komt kennis uiteindelijk vandaan? De set theory is uiteindelijk de enige plek waar iets nieuws bedacht werd. Uit de 7 ZFC axioma's komt verder alles voort. Van de Big Bang tot dat u nu dit stukkie tegen heug en meug zit te lezen, alles kan uitgelegd (en zelfs in zekere zin voorspeld?) worden door de ZFC axioma's van de set theory.

Terug naar onze heterologie. Het heeft een duidelijke parallelie met de paradox van Russell. Een heterologie is een woord dat zichzelf niet beschrijft. Het woord heterologie zelf is een woord dat zichzelf wel en niet beschrijft. Een logicus zou zeggen: de definitie van heterologie is inconsistent. Degene die met de 7 axioma's een set kan maken die tot een contradictie leidt heeft de set theory onderuit gehaald. Die is dan, samen met Cantor en Russell, redelijk geniaal. Ik zou zeggen: zet 'm op.